استخدام مبرهنة "Cayley-Hamilton"وتمهيدية "Nakayama" في دراسة العلاقة بين الحلقات الناظمية وحلقات التقييم

الملخص

يعرض هذا البحث تطبيقاً لمبرهنة ”Cayley-Hamilton" وتمهيدية"Nakayama" في دراسة العلاقة بين الحلقات الناظمية"Normal Rings" وحلقات التقييم "Valuation Rings", حيث إنه تم عرض فكرة عامة عن أهمية الحلقات الناظمية وحلقات التقييم وتعاريف ومفاهيم أساسية من الجبر التبادلي في الفقرة الأولى (المقدمة), وفي الفقرة الثانية مبرهنة ”Cayley-Hamilton" وتمهيدية "Nakayama" في المودولات (المقاسات) منتهية التوليد؛ فضلاً عن مفهوم التموضع "Localization" لحلقة عند مثالي أولي فيها. في الفقرة الثالثة تم الإثبات على أن حلقة التموضع لمنطقة تحليل وحيد عند مثالي موّلد بعنصر أولي منها تُشكل حلقة تقييم، وذلك من خلال المبرهنة (3-5), وفي الجزء الأخير من هذه المقالة مبرهنة (4-1) تبيّن أن كل حلقة تقييم هي حلقة ناظمية، ومن ثم مثال يبيّن أن العكس ليس صحيحاً بالضرورة, ولإثبات العكس تم استخدام مفهوم المثالي الابتدائي " " و مبرهنة "Cayley-Hamilton" وتمهيدية "Nakayama" و ذلك من خلال المبرهنة (4-3), ومن ثم عرض نتيجة (4-4) تبيّن أن كل مثالي غير صفري في الحلقة الناظمية يُكتب كقوة لمثالي أعظمي، وذلك بالاستفادة من الشروط في المبرهنة (4-3).