القــاعــدة الضعيفة والقاعـدة الضعيفـة المستقـلة لفضـاء متجهـي

الملخص

تعد مسألتا التوليد ووحدانية كتابة عنصر من بنية جبرية كتركيب وحيد بدلالة عناصر من هذه البنية مهة جداً في البنى الجبرية. فعلى سبيل المثال، في الفضاءات المتجهية (الشعاعية) ذات البعد المنتهي، كل عنصر من الفضاء يكتب بشكل وحيد بدلالة عناصر مجموعة جزئية من هذا الفضاء، وفي هذه الحالة نسمي تلك المجموعة الجزئية من الفضاء (المولدة والمستقلة خطياً) بقاعدة الفضاء.

في الفقرة الثانية من هذه الورقة العلمية درسنا القواعد الضعيفة لفضاء متجهي منتهي البعد وقد حصلنا على التوصيف الكامل للفضاءات المتجهية ذات البعد الضعيف، وقد تم إثبات أن القواعد المنتهية الضعيفة لفضاء متجهي لها القدرة ذاتها. فضلاً عن ذلك، تم إثبات أن القاعدة المنتهية الضعيفة لفضاء متجهي هي وفقط هي المجموعة المولدة الضعيفة الأصغرية، كما أن أي مجموعة مولدة ضعيفة لفضاء متجهي تحوي قاعدة ضعيفة لهذا الفضاء. أيضاً تم إثبات أنه في الفضاءات ذات البعد المنتهي الضعيف كل مجموعة جزئية مستقلة بضعف يمكن تمديدها إلى قاعدة ضعيفة لهذا الفضاء. إضافة لذلك حصلنا على عدد من الخصائص المهمة للقواعد الضعيفة.

وفي الفقرة الثالثة درسنا القواعد الضعيفة المستقلة لفضاء متجهي جزئي وقد أثبتنا أن كل فضاء جزئي من فضاء ما مولدة بضعف بمجموعة جزئية غير محتواة فيه، يحوي قاعدة ضعيفة مستقلة. فضلاً عن ذلك، تم إثبات أن الشرط اللازم والكافي كي يكون فضاء جزئياً أعظمياً من فضاء متجهي هو أن تكون كل قاعدة ضعيفة مستقلة للفضاء الجزئي وغير محتواة في هي قاعدة للفضاء. كما تم في هذه الفقرة إثبات العديد من الخصائص المهمة للقواعد الضعيفة المستقلة لفضاء متجهي جزئي.